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$\def\Ord{\운영자 이름{Ord}}$
(lang-ko)이번 포스트에서는 이전 포스트에서 언급한 바와 같이 well-ordered set의 ordinal type인 ordinal number의 공식적인 정의를 하도록 하겠습니다.
당신이 그들을 생각한다면 정리 VI.6., $W_1$의 주문 유형이 $W_2$의 주문 유형보다 작다고 생각하는 것은 $W_1$가 $W_2$의 초기 세그먼트와 동형인 주문인 경우에만 가능합니다.
그러면 이것을 공식적으로 어떻게 정의할 수 있습니까? 핵심 아이디어는 $\alpha가 \in \beta$인 경우에만 $\alpha < \beta$가 되도록 서수를 정의하는 것입니다.
다음을 확인하세요 :(/lang-en)
(lang-ko) 이번 글에서는 이전 글에서 알려드린 서수에 대해 말씀드리겠습니다.
저번 글 말미에 서수의 개념은 순서집합의 서수형식을 정형화하는 개념이라고 말씀드렸습니다.
정리 VI.6., $W_1$와 $W_2$의 구간이 서수동형이면 $W_1$의 서수형이 $W_2$의 서수형보다 작다고 말하는 것은 지극히 당연하다.
그렇다면 이러한 개념을 공식적으로 어떻게 정의할 수 있을까요? 서수를 정의하는 핵심 아이디어는 $\alpha < \beta$와 $\alpha \in \beta$가 같은 것을 의미한다는 것입니다.
다음 정의를 살펴보겠습니다.
(/lang-de)
(def){1.}(lang-en)$T$의 모든 요소가 $T$의 하위 집합인 경우 집합 $T$를 $transitive$라고 합니다.
또한 세트는 $ordinal \로 표시됩니다.
number$ (an $ordinale$) 전이적이고 $\in$에 의해 잘 정렬된 경우. (이 문맥에서 $\in$은 $strict$ well-ordering입니다.
)(/lang-en)(lang-en) 집합 $T$의 모든 요소가 $T$의 하위 집합인 경우 이러한 $T$는 바쁘다 전이적 금액을 의미합니다.
또한 전이적이며 $\in$로 정렬된 집합 서수그것은 말한다.
(이 경우 $\in$은 $\leq$가 아니라 $<$와 같습니다.
)(/lang-en)(/def)
(long-en) 서수는 $\alpha,\beta,\gamma,\cdots$와 같은 소문자 그리스 문자로 표시합니다.
서수 클래스는 $\Ord$로 표시됩니다.
$$ \alpha < \beta \text{ } \alpha \in \beta인 경우에만 정의합니다.
$$ 다음 보조정리에는 서수의 일부 속성이 포함되어 있습니다.
다음을 확인하세요 :(/lang-en)
(lang-ko) 일반적으로 그리스 알파벳의 소문자는 $\alpha,\beta,\gamma,\cdots$와 같이 많은 문헌에서 서수를 표현하는 데 사용됩니다.
또한 서수 모음은 $\Ord$로 표시됩니다.
서수의 서수 관계는 $$ \alpha < \beta \Leftrightarrow \alpha \in \beta $$로도 정의됩니다.
다음 기본형은 서수의 일부 속성에 대해 알려줍니다.
아래를 참조하세요.(/lang-de)
(lem){2.}(lang-en)(i) $0 = \varnothing$은 서수입니다.
(ii) $\alpha$가 서수이고 $\beta \in \alpha$이면 $\beta$는 서수입니다.
(iii) $\alpha \neq \beta$가 서수이고 $\alpha \subseteq \beta$이면 $\alpha \in \beta$.
(iv) $\alpha,\beta$가 서수이면 $\alpha \subseteq \beta$ 또는 $\beta \subseteq \alpha$.(/lang-en)(lang-en)(i) $0 = \varnothing$은 서수입니다.
(ii) $\alpha$가 서수이고 $\beta \in \alpha$이면 $\beta$는 서수입니다.
(iii) $\alpha \in \beta$ $\alpha, \beta$가 두 개의 다른 서수이고 $\alpha \subseteq \beta$인 경우.
(iv) $\alpha \subseteq \beta$ 또는 $\alpha,\beta$가 서수인 경우 $\beta \subseteq \alpha$.(/lang-ko)(/lem)
입증하다.
(lang-en)(i) 정의상 사소합니다.
(ii) $\alpha$를 서수로 하고 $\beta \in \alpha$로 둡니다.
$\alpha$는 타동사이므로 $\beta \subseteq는 \alpha$입니다.
따라서 $\alpha$는 $\in$에 의해 잘 정렬되어 있으므로 하위 집합 $\beta$도 $\in$에 의해 잘 정렬되어 있습니다.
따라서 $\beta$가 전이적임을 보여주는 것으로 충분합니다.
이제 $\gamma \in \beta$라고 하자. 그런 다음 $\beta \subseteq \alpha$ 때문에 우리는 $\gamma \in \alpha$를 얻습니다.
이것은 $\alpha$의 전이성에 의해 $\gamma \subseteq \alpha$를 의미합니다.
즉, 모든 $\delta \in \gamma$에 대해 $\delta \in \alpha$입니다.
$\alpha$는 $\in$ 다음에 잘 정렬되어 있으므로 $\in$은 $\alpha$에서 전이 관계입니다.
따라서 $\delta \in \gamma$ 및 $\gamma \in \beta$는 $\delta \in \beta$ 및 따라서 $\gamma \subseteq \beta$를 임의로 선택한 $\delta \in \gamma에 의해 $. 따라서 $\beta$는 서수입니다.
(iii) $\alpha \neq \beta$를 서수로 하고 $\alpha \subseteq \beta$라고 하자. $\beta$는 $\in$ 다음에 잘 정렬되어 있고 $beta \setminus \alpha$가 비어 있지 않기 때문에 $\beta \setminus \alpha$는 가장 작은 요소 $\gamma$를 가집니다.
$\alpha$는 전이적이므로 $\alpha$는 $\gamma$에 의해 주어진 $\beta$의 초기 세그먼트입니다.
따라서 $\alpha = \{ \eta \in \beta \mid \eta < \gamma \} = \gamma$, 즉 $\alpha \in \beta$.
(iv) $\alpha,\beta$를 서수라고 하자. 그렇다면 당연히 $\alpha \cap \beta$는 서수이고 $\gamma = \alpha \cap \beta$입니다.
$\gamma = \alpha$ 또는 $\gamma = \beta$, 그렇지 않으면 (iii)에 의해 $\gamma \in \alpha$ 및 $\gamma \in \beta$가 있습니다.
그런 다음 $\gamma \in \gamma$는 이것과 모순됩니다.
II.1절.(/lang-de)
(lang-en)(i) 정의상 자명하다.
(ii) $\alpha$를 서수로 하고 $\beta \in \alpha$로 하자. 그러면 $\alpha$는 전이 집합, 즉 $\beta \subseteq \alpha$입니다.
따라서 $\beta$에는 정렬 순서로 $\in$도 있습니다.
따라서 $\beta$가 전이 집합임을 보여주는 것으로 충분합니다.
이제 $\gamma \in \beta$라고 합시다.
$\gamma \in \alpha$는 $\beta \subseteq \alpha$에서 구하고 $\alpha$는 타동사이므로 $\gamma \subseteq \alpha$를 구한다.
즉, $\delta \in \alpha$는 모든 $\delta \in \gamma$에 대해 유지됩니다.
$\alpha$는 정렬 순서에 $\in$가 있으므로 $\in$은 $\alpha$에 대한 전이 관계입니다.
즉, $\delta \in \gamma$ 및 $\gamma \in \beta$에서 $\delta \in \beta$를 얻을 수 있습니다.
따라서 $\gamma \subseteq \beta$임을 알 수 있고 $\beta$는 서수임을 알 수 있다.
(iii) 두 개의 다른 서수 $\alpha,\beta$에 대해 $\alpha \subseteq \beta$라고 하자. 그러면 $\beta$가 정렬 순서에서 $\in$을 갖는다는 사실로부터 $\beta \setminus \alpha$에서 가장 작은 요소 $\gamma$를 잡을 수 있다는 것을 알 수 있습니다.
$\alpha$는 전이 집합이므로 $\alpha$는 $\gamma$에 의해 주어진 $\beta$의 교집합이므로 $\alpha = \{ \eta \in \beta \mid \ eta < \gamma \} = \gamma$, 즉 $\alpha \in \beta$.
(iv) $\alpha$와 $\beta$가 서수라면 $\alpha \cap \beta$도 서수라는 것은 자명하다.
$\gamma = \alpha \cap \beta$라고 합시다.
$\gamma \neq \alpha$ 및 $\gamma \neq \beta$이면 (iii)은 $\gamma \in \alpha$와 $\gamma \in \beta$가 모두 있음을 보여줍니다.
그런 다음 $\gamma$ $\gamma \in \gamma$를 정의하면 II.1절.는 $\gamma = \alpha$ 또는 $\gamma = \beta$의 모순이므로 (iv)를 증명합니다.
(/lang-ko)
(lang-de)와 함께 기본형 2.우리는 상당히 일상적으로 증명되는 서수에 대한 몇 가지 사실을 추론할 수 있습니다.
(롱코)기본형 2.다음과 같이 서수에 대한 몇 가지 사실을 얻는 데 사용할 수 있습니다.
증명이 상당히 기계적이라 생략합니다.
(/lang-de)
(cor){2.1.}(lang-en)(i) $<$는 클래스 $\Ord$의 전체 순서입니다.
(ii) 각 $\alpha$에 대해 $\alpha = \{ \beta \mid \beta < \alpha \}$.
(iii) $C$가 비어 있지 않은 서수 클래스이면 $\displaystyle \bigcap C$는 서수, $\displaystyle \bigcap C \in C$ 및 $\displaystyle \bigcap C = \inf C$ .
(iv) $X$가 비어 있지 않은 서수 집합이면 $\displaystyle \bigcup X$는 서수이고 $\displaystyle \bigcup X = \sup X$입니다.
(v) 각 $\alpha$에 대해 $\alpha \cup \{ \alpha \}$는 서수이고 $\alpha \cup \{ \alpha \} = \inf \{ \beta \mid \beta > \ 알파 \}$.
따라서 $\alpha + 1 := \alpha \cup \{ \alpha \}$($\alpha$의 $successor$)를 정의합니다.
주어진 (iv) $\Ord$ 클래스는 실제 클래스이고, 그렇지 않으면 $\sup \Ord + 1$라고 생각하십시오.(/lang-en)(lang-en)(i) $<$ is a meeting $ It is the \Ord$의 전체 시퀀스.
(ii) 각 $\alpha$에 대해 $\alpha = \{ \beta \mid \beta < \alpha \}$.
(iii) $C$가 서수 요소만을 요소로 갖는 비어 있지 않은 집합이면 $\displaystyle \bigcap C \in C$ 및 $\displaystyle \bigcap C = \inf C$.
(iv) $X$가 요소로서 서수만 있는 비어 있지 않은 집합인 경우 $\displaystyle \bigcup X$는 서수이고 $\displaystyle \bigcup X = \sup X$입니다.
(v) 각 $\alpha$에 대해 $\alpha \cup \{ \alpha \}$는 서수, $\alpha \cup \{ \alpha \} = \inf \{ \beta \mid \beta > \ 알파 \}$.
따라서 $\alpha + 1 := \alpha \cup \{ \alpha \}$로 정의됩니다.
($\alpha$부터 다음 서수.) 또한 (iv)에서 $\Ord$는 유일한 그룹임을 알 수 있다.
(/lang-ko)(/cor)
(lang-de)이제 위의 서수 정의가 잘 정렬된 집합의 서수 유형을 제공한다는 것을 증명합니다.
(/lang-de)
(lang-de)이제 위에서 정의한 서수의 개념이 순서집합의 서수형을 의미함을 증명해야 합니다.
(/lang-de)
(thm){3.}(lang-en)모든 잘 정렬된 집합은 고유 서수에 대한 순서 동형입니다.
(/lang-en)(lang-en)$W$ 및 정렬된 모든 집합 $W$에 대한 순서는 거기에 있습니다.
는 동형인 단 하나의 서수입니다.
(/lang-ko)(/thm)
입증하다.
(lang-de)유일성은 정리 VI.5. 이제 잘 정돈된 $W$ 세트가 제공됩니다.
$F(x) = \alpha$ $\alpha$가 $x$에 의해 주어진 $W$의 초기 세그먼트와 동형인 경우 정의하십시오. 이러한 $\alpha$가 존재한다면 분명히 고유합니다.
즉, $F$는 함수입니다.
대체 공리에 의해 $F(W)$는 집합입니다.
모든 $x \in W$에는 그러한 $\alpha$가 있습니다.
그렇지 않으면 그러한 $\alpha$가 존재하지 않는 가장 작은 $x$를 고려하십시오. 그렇다면 $x$는 분명히 $W$의 다른 요소의 후손이 아닙니다.
따라서 $\alpha = \sup F \left( \{ y \in W \mid y < x \} \right)$. 따라서 $\gamma$가 $\gamma \notin F(W)$와 같은 가장 작은 서수라면 $F(W) = \gamma$(에 의해 결론 2.1.(iv)) $W$에서 $\gamma$까지 순서 동형($F$)이 있습니다.
(/lang-en)
(lang-en) 독특함은 정리 VI.5.이제 정렬된 집합 $W$가 주어지면 $\alpha$가 $x$에 의해 주어진 $W$의 교집합과 적절하게 동형이면 $F(x) = \alpha$를 정의하겠습니다.
물론 이러한 $\alpha$가 존재한다면 그것은 유일하다.
즉, $F$는 함수입니다.
순열 공리에 따르면 $F(W)$는 집합입니다.
$x \in W$에는 $F(x)$가 있습니다.
그렇지 않은 경우 $F(x)$가 존재하지 않는 가장 작은 $x$를 고려할 때 이러한 $x$는 다른 $W$의 가장 가까운 요소가 아닙니다.
따라서 $\alpha = \sup F \left( \{ y \in W \mid y < x \} \right)$는 모순을 야기합니다.
따라서 $\gamma$가 $\gamma \notin F(W)$인 가장 작은 서수라면 결론 2.1.(iv)$F(W) = \gamma$임을 알 수 있고, $F$는 $W$에서 $\gamma$까지의 순서 동형이므로 $W$는 $\gamma $와 순서 동형임을 알 수 있습니다.
(/lang -en)
(lang-de) 위의 문장으로 우리는 그것을 정당화할 수 있습니다 조항 1:(/랭데)
(랑꼬) 위 문장 덕분에 조항 1(/lang-en)의 정의를 정당화할 수 있을 것입니다.
(lang-de)$\alpha = \beta + 1$이면 $\alpha$를 $successor라고 합니다 \; 서수 $. $\alpha$가 후속 서수가 아니면 $\alpha = \sup \{ \beta \mid \beta < \alpha \} = \bigcup \alpha$; $\alpha$는 $limit \라고 합니다.
서수 $. 또한 $0$를 극한 서수로 간주하고 $\sup \varnothing = 0$를 정의합니다.
$0$이외의 극한서수의 존재는 무한공리(/lang-de)에 따른다.
(롱엔) If $\alpha = \beta + 1$ then $\alpha$ 서수를 따르다그것은 ~라고 불린다.
$\alpha$가 서수가 아니면 $\alpha = \sup \{ \beta \mid \beta < \alpha \} = \bigcup \alpha$, 원자 번호 제한그것은 ~라고 불린다.
또한 $0$는 극한 서수로 취급되며 $\sup \varnothing$은 $0$로 정의됩니다.
$0$ 이외의 극한 서수의 존재는 무한 공리를 사용하여 증명할 수 있습니다.
(/lang-ko)
(lang-de) 기수의 개념을 정의했다면 자연수 집합이 최소무한집합이라고 할 수 있습니다.
기수는 서수의 개념을 사용하여 정의할 수 있으며 나중에 정의하겠습니다.
그건 그렇고, 이 게시물에서 우리는 서수가 무엇인지 정의했습니다.
다음 포스팅에서는 확장된 수학적 귀납법의 일종인 초한 귀납법에 대해 알아보고, 다음 포스팅에서는 서수 산술에 대해 알아보도록 하겠습니다.
(/lang-ko)
(lang-de) 기수의 개념을 도입하면 자연수의 집합이 가장 작은 무한집합이라고 할 수 있습니다.
기수는 서수(ordinal number)의 개념을 이용하여 정의할 수 있으며, 이에 대해서는 추후에 정의하도록 하겠습니다.
이 기사에서 서수를 정의했으므로 다음 기사에서 서수를 사용하여 초한 귀납법을 다룰 것입니다.
초한 귀납법은 더 넓은 범위에서 사용할 수 있는 정리인 수학적 귀납법의 확장입니다.
또한 다음 글에서는 서수의 연산에 대해 살펴보겠습니다.
(/lang-ko)
(lang-de)그리고 항상 읽어주셔서 감사합니다.
(/lang-de)
(lang-ko) 항상 읽어주셔서 감사합니다.
(/lang-ko)